Каледин В.О.   Решетникова Е.В.   Равковская Е.В.  

Алгоритм расчета напряжений в упругой среде с внутренними кинематическими связями

Докладчик: Каледин В.О.

Рассматривается упругое деформирование сплошной среды, содержащей внутренние кинематические связи, приводящие к отсутствию отдельных компонент деформаций. Примерами таких сред являются объемно несжимаемая среда и среда, армированная нерастяжимыми волокнами.

Краевая задача теории упругости для подобных сред некорректна, поскольку определяющие уравнения не обратимы, а работа напряжений на запрещенных деформациях равна нулю. Так, в случае объемно несжимаемой среды равна нулю работа шаровой составляющей тензора напряжений на деформации изменения объема. Это равносильно бесконечно большому модулю объемной деформациии. Аналогично, при армировании нерастяжимыми волокнами модуль упругости в направлении армирования бесконечно большой, а работа напряжений на линейной деформации вдоль волокна равна нулю.

Задача может быть регуляризована по Тихонову путем замены бесконечно больших модулей конечными. Тогда решение исходной некорректной задачи можно найти как предел решения регуляризованной задачи. Параметр регуляризации находится в знаменателе.

Дискретизация регуляризованной задачи, например, методом конечных элементов, приводит к системе алгебраических уравнений относительно перемещений с коэффициентами, зависящими от параметра регуляризации. В частности, при линейно упругом деформировании это будет система линейных алгебраических уравнений, матрица коэффициентов которых содержит два слагаемых - постоянное и особенное. В работе показано, что предел напряжений, действующих в среде со связями, выражается через предел решения этой системы уравнений и предел производной решения по параметру при условии, что параметр регуляризации стремится к нулю.

Исследование алгебраической задачи показало, что предел перемещений содержится в ядре матрицы, содержащей параметр регуляризации в знаменателе, а предел их производной ортогонален ядру. Это позволило построить алгоритм вычисления указанных пределов, имеющий сверхлинейную скорость сходимости и использующий полную либо частичную факторизацию постоянной матрицы коэффициентов. Рассмотрены модельные задачи, демонстрирующие сходимость алгоритма и высокую точность получаемых результатов.

Разработанный алгоритм применен к расчету полей напряжений в слоистых оболочках, содержащих упругие слои высокой жесткости и податливые объемно несжимаемые слои, при статических нагрузках.